寻找规律（3）——尖子生之路[中考复习系列]

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寻找规律（3）

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【例1】如图，图①是一块边长为1，周长记为P₁的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为1/2的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的1/2后，得图③、④，…，记第n （n≥3）块纸板的周长为P_n，则P_n﹣P_n﹣1等于________.

【解析】通过观察，发现从第3个图形开始，后一个图形的周长恰好比前一个图形的周长少了一个正三角形的边长（1/2^n-1），所以P_n﹣P_n﹣1＝1/2^n-1．

【拓展1】如图四边形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁，A₃B₃C₃C₂均为正方形．点A₁，A₂，A₃和点C₁，C₂，C₃分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，点B₃的坐标是（19/4，9/4），求k+b的值．

【解析】设C₁的坐标为（a，0），如下图示．

通过△A₂A₁B₁∽△A₃A₂B₂，可求得a的值，进一步得到A₁和A₂的坐标，再代入直线，即可求k、b的值，分别为k=0.5，b=1．所以k+b=1.5．

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【例2】观察分析下列方程：①x+2/x=3，②x+6/x=5，③x+12/x=7；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程x+(n²+n)/(x-3)=2n+4（n为正整数）的根．

【解析】通过观察分式方程①②③和对应的解（分别为x=1或x=2，x=2或x=3，x=3或x=4），

可得方程及解的规律：方程x+ab/x=a+b的根为x=a或x=b．而方程x+(n²+n)/(x-3)=2n+4（n为正整数）可化为（x－3）+(n²+n)/(x-3)=n+（n+1）（n为正整数）．因此所求的方程的解为x﹣3=n或x﹣3=n+1，即x=n+3或x=n+4．具体过程如下：

【解】∵由①得，方程的根为x=1或x=2．由②得，方程的根为x=2或x=3．

由③得，方程的根为x=3或x=4．∴方程x+ab/x=a+b的根为x=a或x=b．

∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1）．

∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1．即x=n+3或x=n+4．

【拓展1】直接写出下列关于x的方程的解．

（1）x+m/x=c+c/m的解为x₁=c，x₂=m/c；

（2）x－1/（x+1）=2019－1/2020的解为x₁=2019，x₂=-2021/2020　．

【解析】（1）直接解出关于x的方程，答案为x₁=c，x₂=m/c；（2）将原方程化为（x+1）+(-1)/(x+1)=2020+(-1)/2020，可对照第（1）题的结论，可得所求方程的解为x₁=2019，x₂=-2021/2020．

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